Subiectul III

O cantitate dată de gaz ideal biatomic (C_V = 2,5R) se află în starea inițială 1 în care presiunea este p_1 = 10^5 \text{ Pa} și volumul V_1 = 4\text{ L}. Gazul este încălzit la volum constant până în starea 2, apoi este comprimat la temperatură constantă până în starea finală 3 în care volumul gazului devine V_3 = 0,5\cdot V_1. Căldura primită de gaz în transformarea 1\to 2 este Q_{12} = 300 \text{ J}. Se consideră \ln 2 \cong 0,7.

  1. Reprezentaţi grafic succesiunea de transformări 1 \to 2 \to 3 în sistemul de coordonate p - V.
  2. Calculați variația energiei interne a gazului între stările 1 și 2.
  3. Calculați presiunea gazului în starea 2.
  4. Determinaţi căldura schimbată de gaz cu mediul exterior în transformarea 2\to 3.

Rezolvare:

  1. Succesiunea de transformări 1 \to 2 \to 3 în sistemul de coordonate p - V este reprezentată în figura de mai jos: 

  1. Transformarea 1\to 2 este izocoră.

\Rightarrow L=0

\Rightarrow \Delta U_{12}=Q_{12}

\Rightarrow \Delta U_{12}=300\text{ J}

  1. Avem:

\begin{align*} \Delta U_{12}&=\nu\cdot C_{V}\cdot \Delta T \\&=2,5\cdot \nu\cdot R\cdot \Delta T \end{align*}

\begin{align*} p\cdot V=\nu\cdot R\cdot T \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow \nu\cdot R\cdot \Delta T=\Delta p\cdot V \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow \Delta U_{12}&=2,5\cdot V_{1}\cdot \Delta p \\&=2,5\cdot V_{1}\cdot (p_{2}-p_{1}) \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow \frac{\Delta U}{2,5\cdot V_{1}}=p_{2}-p_{1} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow p_{2}=p_{1}+\frac{\Delta U}{2,5\cdot V_{1}} \end{align*}

\begin{align*} V_{1}=4\ L=4\cdot 10^{-3}\ \text{m}^{3} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow p_{2}&=10^{5}+\frac{300}{2,5\cdot 4\cdot 10^{-3}} \\\\&=10^{5}+\frac{300\cdot 10^{3}}{10} \\\\&=10^{5}+3\cdot 10^{4} \\\\&=1,3\cdot 10^{5} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow p_{2}&=1,3\cdot 10^{5}\text{ Pa} \end{align*}.

  1. Transformarea 2\to 3 este izotermă.

\begin{align*} \Rightarrow Q_{23}&=\nu\cdot R\cdot T_{2}\cdot \ln \frac{V_{f}}{V_{i}} \\\\&=\nu\cdot R\cdot T_{2}\cdot \ln \frac{V_{3}}{V_{2}} \end{align*}

\begin{align*} V_{2}=V_{1} \end{align*}

\begin{align*} p_{2}\cdot V_{2}=\nu\cdot R\cdot T_{2} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow Q_{23}&=p_{2}\cdot V_{1}\cdot \ln \frac{V_{3}}{V_{1}} \\\\& =1,3\cdot 10^{5}\cdot 4\cdot 10^{-3}\cdot \ln \frac{0,5\cdot V_{1}}{V_{1}} \\\\& =1,3\cdot 4\cdot 10^{2}\cdot \ln \frac{1}{2} \\\\& =1,3\cdot 4\cdot 10^{2}\cdot \ln 2^{-1} \\\\& =-1\cdot 1,3\cdot 4\cdot 10^{2}\cdot \ln 2 \\\\& =-1\cdot 1,3\cdot 4\cdot 0,7\cdot 10^{2} \\\\& =-3,64\cdot 10^{2} \\\\& =-364\ \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow Q_{23} =-364\ \text{J} \end{align*}.