Subiectul II

O masă m = 2 g de heliu (\mu _\text{He} = 4\text{ g/mol}), considerat gaz ideal, este închisă într-un cilindru cu piston, ca în figura alăturată.

Pistonul se poate mişca fără frecare. Heliul se află inițial la temperatura t_1 = 27^\circ\text{C} şi presiunea p_1 = p_0. În exteriorul cilindrului se găsește aer la presiunea atmosferică p_0 = 10^5 \text{ Pa }. Heliul se încălzește lent până la temperatura T_2 = 1,5 \cdot T_1. Determinaţi:

  1. cantitatea de heliu din cilindru;
  2. volumul ocupat de heliu la temperatura T_1;
  3. densitatea heliului la temperatura T_2;
  4. lucrul mecanic schimbat de heliu cu mediul exterior în timpul încălzirii.

Rezolvare:

  1. Avem:

\begin{align*} \nu&=\frac{m}{\mu}\\\\&=\frac{2}{4}\\\\&=0,5 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \nu&=0,5\text{ moli} \end{align*}.

  1. Avem:

\begin{align*} p_{1}\cdot v_{1}=\nu\cdot R\cdot T_{1} \end{align*}

\begin{align*} p_{1}=p_{0} \end{align*}

\begin{align*} T_{1}&=t_{1}+273 \\&=27+273 \\&=300\ \text{K} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow V_{1}&=\frac{\nu\cdot R\cdot T_{1}}{p_{0}} \\\\& =\frac{0,5\cdot 8,31\cdot 300}{10^{5}} \\\\&=0,012465\ \text{m}^{3} \\\\&\simeq 12,5\text{ L} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow V_{1}&\simeq 12,5\text{ L} \end{align*}.

  1. Avem:

\begin{align*} \rho=\frac{m}{V} \end{align*}

\begin{align*} m=2\ \text{g}=2\cdot 10^{-3}\ \text{kg} \end{align*}.

Deoarece încălzirea se face lent, iar pistonul se poate deplasa fără frecare, putem considera presiunea constantă în timpul transformării.

Rezultă că transformarea este izobară.

 \begin{align*} p\cdot V=\nu\cdot R\cdot T \end{align*}

\begin{align*} \nu=ct; \ R=ct \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow \frac{p\cdot V}{T}=ct \end{align*}

\begin{align*} p=ct \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow \frac{V}{T}=ct \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow \frac{V_{1}}{T_{1}}=\frac{V_{2}}{T_{2}} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow V_{2}&=V_{1}\cdot \frac{T_{2}}{T_{1}} \\\\&=12,5\cdot \frac{1,5\cdot T_{1}}{T_{1}} \\\\& =12,5\cdot 1,5 \\\\& =18,75\ L \\\\& =18,75\cdot 10^{-3}\ \text{m}^{3} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow V_{2}&=18,75\cdot 10^{-3}\ \text{m}^{3} \end{align*}

\begin{align*} \rho&=\frac{m}{V} \\\\& =\frac{2\cdot 10^{-3}}{18,75\cdot 10^{-3}} \\\\& =0,106 \\\\& \simeq 0,1 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \rho&\simeq 0,1\ \frac{\text{kg}}{\text{m}^{3}} \end{align*}.

  1. Transformarea este izobară.

\begin{align*} \Rightarrow L&=\nu\cdot R\cdot \Delta T\\&=p\cdot \Delta V \end{align*}

\begin{align*} p=p_{0}=ct \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow L&=p_{0}\cdot \Delta V \\&=p_{0}\cdot (V_{2}-V_{1}) \\&=10^{5}\cdot (18,75\cdot 10^{-3}-12,5\cdot 10^{-3}) \\&=10^{5}\cdot 6,25\cdot 10^{-3} \\&=625 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow L&=625\text{ J} \end{align*}