Subiectul III

Un dispozitiv interferenţial Young are distanţa dintre fante 2\ell = 0,5 \text{mm}. Distanţa de la planul fantelor la ecran este D=1 \text{m}. O sursă de lumină coerentă monocromatică cu \lambda = 500 \text{nm} este aşezată pe axa de simetrie a dispozitivului interferenţial, la distanţa d = 20 \text{cm} de planul fantelor.

  1. Calculaţi valoarea interfranjei.
  2. Calculaţi diferenţa de drum optic dintre razele de lumină care formează pe ecran franja luminoasă de ordin k = 4.
  3. Determinaţi deplasarea \Delta x a figurii de interferenţă dacă sursa de lumină se deplasează paralel cu planul fantelor, perpendicular pe acestea, cu distanţa y = 1 \text{mm}.
  4. Se înlocuieşte sursa de lumină cu o altă sursă care emite lumină albă ale cărei limite spectrale sunt λ_r = 750\lambda _{r} = 750 \text{nm} şi \lambda _{\text{v}} = 400 \text{nm}. Determinaţi numărul de radiaţii cu lungimi de undă diferite care formează minime la distanţa x = 5 \text{mm} faţă de franja centrală.

Rezolvare:

  1. Avem:

i=\frac{\lambda\cdot D}{2l}

\begin{align*} \lambda&=500\ \text{nm} \\& =500\cdot 10^{-9}\ \text{m} \end{align*}

\begin{align*} D=1\ \text{m} \end{align*}

\begin{align*} 2l&=0,5\ \text{mm} \\& =0,5\cdot 10^{-3}\ \text{m} \\&=5\cdot 10^{-4}\ \text{m} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow i&=\frac{500\cdot 10^{-9}\cdot 1}{5\cdot 10^{-4}} \\\\& =100\cdot 10^{-5} \\\\&=10^{-3}\ \text{m} \\\\&=1\ \text{mm} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow i&=1\ \text{mm} \end{align*}.

  1. Diferenţa de drum optic dintre razele de lumină care formează pe ecran franja luminoasă de ordin k = 4 este:

\begin{align*} \delta&=k\cdot\lambda \\&=4\cdot 500\cdot10^{-9} \\&=2000\cdot10^{-9} \\&=2\cdot 10^{3}\cdot 10^{-9} \\&=2\cdot 10^{-6}\ \text{m} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \delta&=2\cdot 10^{-6}\ \text{m} \end{align*}.

  1. Avem:

\begin{align*} y=1\ \text{mm} \end{align*}

\begin{align*} D=1\ \text{m} \end{align*}

\begin{align*} d=20\ \text{cm}=0,2\ \text{m} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow \Delta x&=y\cdot \frac{D}{d} \\\\& =1\cdot \frac{1}{0,2} \\\\&=1\cdot5 \\\\&=5\ \text{mm} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \Delta x&=5\ \text{mm} \end{align*}.

  1. Pentru a se forma un minim, diferenţa de drum dintre raze trebuie să fie un multiplu impar de semilungimi de undă.

\begin{align*} \Rightarrow \delta=(2\cdot k+1)\cdot \frac{\lambda}{2} \end{align*}

\begin{align*} x&=\frac{\delta\cdot D}{2l} \\\\& =(2\cdot k+1)\cdot \frac{\lambda\cdot D}{4l} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow 2\cdot k+1=\frac{x\cdot 4l}{\lambda\cdot D} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow 2\cdot k=\frac{x\cdot 4l}{\lambda\cdot D}-1 \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow k=\frac{x\cdot 4l}{2\cdot\lambda\cdot D}-\frac{1}{2} \end{align*}

\begin{align*} \lambda_{V}\leq \lambda_{\text{surs\u a}}\leq \lambda_{r} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow \frac{1}{\lambda_{V}}\geq \frac{1}{\lambda_{\text{surs\u a}}}\geq \frac{1}{\lambda_{r}} \end{align*}

\Rightarrow \frac{x\cdot 2l}{\lambda_{r}\cdot D}-\frac{1}{2}\leq k\leq \frac{x\cdot 2l}{\lambda_{V}\cdot D}-\frac{1}{2} 

\Rightarrow k\in \left [ \left (\frac{x\cdot 2l}{\lambda_{r}\cdot D}-\frac{1}{2} \right );\left (\frac{x\cdot 2l}{\lambda_{V}\cdot D}-\frac{1}{2} \right ) \right ] .