Subiectul II

Un obiect, cu înălţimea de 4 \text{cm}, este plasat perpendicular pe axa optică principală a unei lentile subțiri, biconvexe, la 60 \text{cm} în fața acesteia. Lentila are razele de curbură ale suprafețelor sferice \left |R_1 \right | =\left | R_2 \right | = 20 \text{cm}, iar distanţa focală este f_1 = 20 \text{cm}.

  1. Realizaţi un desen în care să evidențiați construcția imaginii prin lentilă, în situația descrisă.
  2. Calculați înălţimea imaginii formate de lentilă.
  3. Determinaţi indicele de refracţie absolut al materialului din care este confecționată lentila.
  4. În contact cu lentila se aşază o altă lentilă, cu distanţa focală f_2 = 30 \text{cm}, pentru a forma un sistem optic centrat. Obiectul rămâne în aceeaşi poziţie faţă de prima lentilă. Calculaţi distanţa cu care se deplasează imaginea ca urmare a introducerii celei de a doua lentile.

Rezolvare:

  1. Avem următorul desen, în care am evidențiat construcția imaginii prin lentilă, în situația descrisă:

  1. Avem

\frac{1}{x_{_{2}}}-\frac{1}{x_{_1}}=\frac{1}{f}

\Rightarrow \frac{1}{x_{_{2}}}=\frac{1}{f}+\frac{1}{x_{_1}}

\Leftrightarrow \frac{1}{x_{_{2}}}=\frac{f+x_{_1}}{f\cdot x_{_1}}

\Rightarrow x_{_2}=\frac{f\cdot x_{_1}}{f+x_{_1}}

x_{_1}<0

\Rightarrow x_{_1}=-60\ \text{cm}=-0,6\ \text{m}

Lentila este biconvexă

\Rightarrow f>0

\Rightarrow f=20\ \text{cm}=0,2\ \text{m}

\begin{align*} \Rightarrow x_{_2}&=\frac{0,2\cdot (-0,6)}{0,2-0,6} \\\\&=\frac{-0,12}{-0,4} \\\\& =0,3\ \text{m} \\\\&=30\ \text{cm} \end{align*}

\begin{align*} \beta=\frac{y_{_2}}{y_{_1}} \end{align*}

\begin{align*} \beta&=\frac{x_{2}}{x_{1}} \\\\& =\frac{-0,3}{0,6} \\\\&=-0,5 \end{align*}

\begin{align*} \beta=\frac{y_{ _2}}{y_{ _1}} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow {y_{_2}}&=\beta\cdot y_{_1} \\& =-0,5\cdot 4 \\&=-0,2\ \text{cm} \end{align*}

Imaginea este răsturnată şi are înălţimea egală cu:

\begin{align*} h=|y_{2}|=2\ \text{cm} \end{align*}.

  1. Succesiv, avem:

\begin{align*} \frac{1}{f}=(n_r-1)\cdot \left ( \frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}} \right ) \end{align*}

\begin{align*} \frac{1}{f}=(n_r-1)\cdot \frac{R_{2}-R_{1}}{R_{2}\cdot R_{1}} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow n_r-1=\frac{R_{2}\cdot R_{1}}{f\cdot (R_{2}-R_{1})} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow n_r=\frac{R_{2}\cdot R_{1}}{f\cdot (R_{2}-R_{1})}+1 \end{align*}

\begin{align*} n_r=\frac{n_{\text{lentil\u a}}}{n_{\text{mediu}}} \end{align*}

\begin{align*} n_{\text{mediu}}=n_{\text{aer}}=1 \end{align*}

\begin{align*} R_{1}>0 \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow R_{1}=20\ \text{cm}=0,2\ \text{m} \end{align*}

\begin{align*} R_{2}<0 \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow R_{2}=-20\ \text{cm}=-0,2\ \text{m} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow n_{\text{lentil\u a}}&=\frac{-0,2\cdot0,2}{0,2\cdot(-0,2-0,2)}+1 \\\\&=\frac{0,2\cdot 0,2}{0,2\cdot 0,4}+1 \\\\&=\frac{0,2}{0,4}+1 \\\\&=0,5+1 \\\\&=1,5 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow n_{\text{lentil\u a}}&=1,5 \end{align*}.

  1. Avem

\begin{align*} f_{2}=30\ \text{cm}=0,3\ \text{m} \end{align*}

\begin{align*} \frac{1}{f'}=\frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f_{2}} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \frac{1}{f'}=\frac{f_{2}+f_{1}}{f_{2}\cdot f_{1}} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow f'&=\frac{f_{2}\cdot f_{1}}{f_{2}+f_{1}} \\\\& =\frac{0,3\cdot 0,2}{0,3+0,2} \\\\&=\frac{0,06}{0,5} \\\\&=0,12\ \text{m} \\\\&=12\ \text{cm} \end{align*}

\begin{align*} \frac{1}{x'_{2}}-\frac{1}{x_{1}}=\frac{1}{f} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow \frac{1}{x'_{2}}=\frac{1}{f}+\frac{1}{x_{1}} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \frac{1}{x'_{2}}=\frac{x_{1}+f}{x_{1}\cdot f} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow x'_{2}&=\frac{x_{1}\cdot f}{x_{1}+f} \\\\&=\frac{-0,6\cdot 0,12}{-0,6+0,12} \\\\&=\frac{-0,072}{-0,48} \\\\&=0,15\ \text{m} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow d&=|x'_{2}-x_{2}|\\&=|0,15-0,30|\\&=0,15\ \text{m}\\&=15\ \text{cm} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow d&=15\ \text{cm} \end{align*}.