Subiectul III

La bornele unei baterii de tensiune electromotoare E = 12 \text{V} se conectează, în serie, două consumatoare. Tensiunea la bornele primului consumator este U_1 = 6 \text{V}, iar rezistența electrică a celui de-al doilea consumator este R_2 = 10 \Omega. Puterea pe care o consumă, împreună, cele două consumatoare, are valoarea P = 5,5 \text{W}.

  1. Calculaţi energia electrică consumată împreună, de cele două consumatoare, în timpul \Delta t = 10 minute.
  2. Determinaţi intensitatea curentului electric din circuit.
  3. Determinaţi randamentul circuitului electric.
  4. În paralel cu gruparea celor două consumatoare se conectează un al treilea consumator a cărui rezistenţă este astfel aleasă încât puterea debitată de baterie pe circuitul exterior să fie maximă. Determinaţi valoarea rezistenței electrice R_3 a celui de-al treilea consumator.

Rezolvare:

  1. Avem

W=U\cdot I\cdot \Delta t

P=U\cdot I

\Rightarrow W=P\cdot \Delta t

\begin{align*} \Delta t&=10\ \text{min} \\&=10\cdot 60\ \text{s} \\&=600\ \text{s} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow W&=5,5\cdot 600\\&=3300\ \text{J} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow W&=3300\ \text{J} \end{align*}.

  1. Avem

\begin{align*} P=P_{1}+P_{2} \end{align*}

\begin{align*} P&=U\cdot I \\&=I\cdot R\cdot I \\&=R\cdot I^2 \end{align*}

Deoarece consumatoarele cunt legate în serie, intensitatea curentului care le străbate este aceeaşi.

Pentru primul consumator se cunoaşte doar tensiunea la bornele acestuia, aşadar vom scrie puterea consumată de acesta cu prima formulă:

\begin{align*} P_{1}=U_{1}\cdot I \end{align*}

Pentru al doilea consumator se cunoaşte doar rezistenţa acestuia, deci vom scrie puterea consumată de acesta cu a doua formulă:

\begin{align*} P_{2}=R_{2}\cdot I^2 \end{align*}

\begin{align*} P&=P_{1}+P_{2} \\& =U_{1}\cdot I+R_{2}\cdot I^2 \end{align*}

\begin{align*} R_{2}\cdot I^2+U_{1}\cdot I-P=0 \end{align*}

\begin{align*} \Delta &=U_{1}^2-4\cdot R_{2}\cdot(-P) \\& =6^2+4\cdot 10\cdot 5,5 \\&=36+220 \\&=256 \\&=16^2 \end{align*}

\begin{align*} P=P_{1}+P_{2}=U_{1}\cdot I+R_{2}\cdot I^2 \end{align*}

\begin{align*} R_{2}\cdot I^2+U_{1}\cdot I-P=0 \end{align*}

\begin{align*} \Delta &=U_{1}^2-4\cdot R_{2}\cdot(-P) \\&=6^2+4\cdot 10\cdot 5,5 \\&=36+220 \\&=256 \\&=16^2 \end{align*}

\begin{align*} I_{{1,2}}&=\frac{-U_{1}\pm\sqrt{\Delta}}{4\cdot R_{2}} \\\\& =\frac{-6\pm\sqrt{16^2}}{2\cdot10} \end{align*}

Deoarece intensitatea curentului nu poate avea valori negative, doar soluţia

\begin{align*} I_{2}=\frac{-6+\sqrt{16^2}}{2\cdot 10} \end{align*}

este adevărată.

Atunci:

\begin{align*} I&=I_{ _2} \\\\& =\frac{-6+\sqrt{16^2}}{2\cdot 10} \\\\& =\frac{-6+16}{20} \\\\& =\frac{10}{20} \\\\& =0,5\ \text{A} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow I& =0,5\ \text{A} \end{align*}.

  1. Avem

\eta=\frac{P_{\text{exterior}}}{P_{\text{total}}}

\begin{align*} P_{\text{exterior}}&=P_{1}+P_{2} \\& =5,5\ \text{W} \end{align*}

\begin{align*} P_{\text{total}}&=E\cdot I \\& =12\cdot 0,5 \\&=6\ \text{W} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow \eta&=\frac{5,5}{6} \\\\& \cong 0,916 \\\\& \cong 91,6\% \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \eta&\cong 91,6\% \end{align*}.

  1. Pentru ca puterea debitată de baterie pe circuitul exterior să fie maximă trebuie ca rezistenţa exterioară să fie egală cu rezistenţa internă a sursei:

\begin{align*} \Rightarrow R_{\text{ext}}=r \end{align*}.

Conform legii lui Ohm avem:

\begin{align*} R_{1}&=\frac{U_{1}}{I}\\\\&=\frac{6}{0,5}\\\\&=12\ \Omega \end{align*}

\begin{align*} P_{\text{total}}=P_{\text{exterior}}+P_{\text{interior}} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow P_{\text{interior}}&=P_{\text{total}}-P_{\text{exterior}} \\& =6-5,5 \\&=0,5\ \text{W} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow r&=\frac{P_{\text{interior}}}{I^2} \\\\& =\frac{0,5}{0,5^2} \\\\&=\frac{0,5}{0,25} \\\\& =2\ \Omega \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow r& =2\ \Omega \end{align*}.

Deoarece rezistenţele \begin{align*} R_{1} \end{align*} și \begin{align*} R_{2} \end{align*} sunt legate în serie, rezistenţa lor echivalentă este:

\begin{align*} R'&=R_{1}+R_{2} \\&=12+10 \\& =22\ \Omega \end{align*}

Cu ele vine legată în paralel o alta rezistenţă R_{3}:

\Rightarrow \frac{1}{R_{\text{paralel}}}=\frac{1}{R_{3}}+\frac{1}{R'}.

Dar, pentru că puterea debitată pe circuitul exterior sa fie maximă trebuie ca rezistenţa exterioară (care este R_{\text{paralel}}) să fie egală cu rezistenţa interioară a bateriei (care este r):

\Rightarrow R_{ _{\text{paralel}}}=r

\Rightarrow \frac{1}{r}=\frac{1}{R_{ _3}}+\frac{1}{R'}

\Rightarrow \frac{1}{R_{ _3}}=\frac{1}{r}-\frac{1}{R'}

\Leftrightarrow \frac{1}{R_{ _3}}=\frac{R'-r}{R'\cdot r}

\begin{align*} \Rightarrow R_{3}&=\frac{R'\cdot r}{R'-r} \\\\&=\frac{22\cdot 2}{22-2} \\\\&=\frac{44}{20} \\\\&=2,2\ \Omega \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow R_{3}&=2,2\ \Omega \end{align*}.