Subiectul II

Se realizează montajul a cărui schemă este redată în figura alăturată.

Se cunosc: E_1=4,5 \text{V} și E_2=6 \text{V}r_1=r_2=1 \OmegaR_1=14 \Omega și R_2=49 \Omega. Întrerupătorul \text{K} este închis. În aceste condiţii intensitatea curentului indicat de ampermetrul ideal ( R_A\cong 0 ) este I_1=0,2 \text{A}.

  1. Determinaţi tensiunea la bornele generatorului având t.e.m. E_1.
  2. Determinaţi tensiunea la bornele rezistorului R_2.
  3. Calculaţi rezistenţa electrică a rezistorului R_3.
  4. Se deschide întrerupătorul K. Determinaţi valoarea pe care ar trebui să o aibă rezistenţa electrică a ampermetrului ( R_A ), pentru ca intensitatea curentului măsurat de ampermetru, în aceste condiţii, să fie egală cu I_A = 0,15 \text{A}.

Rezolvare:

  1. Avem

\begin{align*} E_{_{1}}=U_{_{1}}+u_{_{1}} =U_{_{1}}+I_{_{1}}\cdot r_{_{1}} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow U_{_{1}}&=E_{_{1}}-I_{_{1}}\cdot r_{_{1}} \\&=4,5-0,2\cdot 1 \\&=4,5-0,2 \\&=4,3\ \text{V} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow U_{_{1}}&=4,3\ \text{V} \end{align*}.

  1. \begin{align*} U_{_{R_2}}=I_{_2}\cdot R_{_2} \end{align*}

Alegem un sens pozitiv de parcurgere al curentului electric şi scriem legea a doua a lui Kirchhoff:

\begin{align*} E_{_{1}}+E_{_{2}}=I_{_{1}}\cdot (R_{_{1}}+r_{_{1}})+I_{_{2}}\cdot (R_{_{2}} +r_{_{2}}) \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow I_{_{2}}&=\frac{E_{_{1}}+E_{_{2}}-I_{_{1}}\cdot (R_{_{1}}+r_{_{1}})}{R_{_{2}} +r_{_{2}}} \\\\& =\frac{4,5+6-0,2\cdot(14+1)}{49+1} \\\\& =\frac{4,5+6-3}{50} \\\\&=\frac{7,5}{50} \\\\&=0,15\ \text{A} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow I_{_{2}}&=0,15\ \text{A} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow U_{_{R_2}}&=0,15\cdot 49\\&=7,35\ \text{V} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow U_{_{R_2}}=7,35\ \text{V} \end{align*}.

  1. Scriem prima lege a lui Kirchhoff:

\begin{align*} I_1=I_2+I_3 \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow I_3&=I_1-I_2 \\&=0,2-0,15 \\&=0,05\ \text{A} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow I_3&=0,05\ \text{A} \end{align*}.

Scriem legea a doua a lui Kirchhoff şi alegem un sens pozitiv pentru sensul curentului:

\begin{align*} E_{_{2}}=I_{_{2}}\cdot (R_{_{2}}+r_{_{2}})-I_{_{3}}\cdot R_{_{3}} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow I_{_{3}}\cdot R_{_{3}}=I_{_{2}}\cdot (R_{_{2}}+r_{_{2}})-E_{_{2}} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow R_{_{3}}&=\frac{I_{_{2}}\cdot (R_{_{2}}+r_{_{2}})-E_{_{2}}}{I_{_{3}}} \\\\& =\frac{0,15\cdot (49+1)-6}{0,05} \\\\&=\frac{7,5-6}{0,05} \\\\&=\frac{1,5}{0,05} \\\\& =\frac{150}{5} \\\\& =30\ \Omega \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow R_{_{3}}& =30\ \Omega \end{align*}.

  1. Întrerupătorul \text{K} se deschide, deci circuitul se rezumă la un circuit în serie, care are două surse legate în serie (dacă alegem un sens pozitiv de parcurgere al curentului, acesta va trece prin surse de la borna „-” la borna „+” , deci tensiunile electromotoare ale lor se vor aduna).

\begin{align*} E_{\text{serie}}&=E_{1}+E_{2}\\&=4,5+6\\&=10,5\ \text{V} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow E_{\text{serie}}=10,5\ \text{V} \end{align*}.

Deoarece rezistenţele \begin{align*} R_1, R_2 \end{align*} şi \begin{align*} R_A \end{align*} sunt legate în serie, avem: 

\begin{align*} R_{\text{serie}}=R_{1}+R_{2}+R_{A} \end{align*}.

Scriem legea lui Ohm pentru întregul circuit şi avem:

\begin{align*} E_{\text{serie}}&=I_{A}\cdot(r_{\text{serie}}+R_{\text{serie}}) \\& =I_{A}\cdot(r_{\text{serie}}+R_{1}+R_{2}+R_{A}) \\& =I_{A}\cdot r_{\text{serie}}+I_{A}\cdot R_{1}+I_{A}\cdot R_{2}+I_{A}\cdot R_{A} \\&=I_{A}\cdot(r_{\text{serie}}+R_{1}+R_{2})+I_{A}\cdot R_{A} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow I_{A}\cdot R_{A}=E_{\text{serie}}-I_{A}\cdot(r_{\text{serie}}+R_{1}+R_{2}) \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow R_{A}&=\frac{E_{\text{serie}}-I_{A}\cdot(r_{\text{serie}}+R_{1}+R_{2})}{I_{A}} \\\\& =\frac{10,5-0,15\cdot(2+14+49)}{0,15} \\\\&=\frac{10,5-0,15\cdot 65}{0,15} \\\\&=\frac{10,5-9,75}{0,15} \\\\& =\frac{0,75}{0,15} \\\\& =\frac{75}{15} \\\\& =5\ \Omega \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow R_{A}& =5\ \Omega \end{align*}.