Subiectul III

O cantitate dată de gaz ideal poliatomic ( C_V = 3R ) este supus succesiunii de transformări redată în figura alăturată.

Se cunosc: V_2=1,5\cdot V_1 , V_3=2,7\cdot V_1\cong e\cdot V_1 și \ln 1,5\cong 0,4. Lucrul mecanic efectuat în destinderea 2\to 3 are valoarea L_{23}=900 \text{J}, iar temperatura la care are loc această destindere este T_2=450 \text{K}. Determinați:

  1. temperatura T_1 a gazului în starea iniţială;
  2. lucrul mecanic total schimbat de gaz cu mediul exterior în transformarea ciclică;
  3. căldura primită de gaz în transformarea 1\to 2;
  4. randamentul motorului termic care ar funcţiona după acest ciclu.

Rezolvare:

  1. Transformarea 1\to 2 este o transformare liniară care poate fi descrisă de o funcţie de gradul întâi.

Rezultă că V=\alpha T+\beta, unde \alpha și \beta sunt constante.

Graficul transformării 1\to 2 trece prin origine; astfel, la T=0, avem V=0, dar V=\alpha T+\beta, deci 0=\alpha 0+\beta, de unde obținem că \beta=0.

\Rightarrow V=\alpha T

\Rightarrow \frac{V}{T}=\alpha=ct.

\Rightarrow \frac{V}{T}=ct

\begin{align*} \Rightarrow T_1&=T_2\cdot \frac{V_1}{1,5\cdot V_1} \\\\& =\frac{T_2}{1,5} \\\\& =\frac{450}{1,5} \\\\& =300\ \text{K} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow T_1& =300\ \text{K} \end{align*}.

  1. Avem:

L_{_{\text{total}}}=L_{_{1\rightarrow 2}}+L_{_{2\rightarrow 3}}+L_{_{3\rightarrow 4}}+L_{_{4\rightarrow 1}}.

Transformarea 1\to 2 este izobară, rezultă că L_{_{1\rightarrow 2}}=p\cdot \Delta V.

Transformarea 2\rightarrow 3 este izotermă, rezultă că L_{_{2\rightarrow 3}}=\nu\cdot R\cdot T\cdot \ln\frac{V_f}{V_i} .

Transformarea 3\rightarrow 4 este izocoră, rezultă că L_{_{3\rightarrow 4}}=0.

Transformarea 4\rightarrow 1 este izotermă, rezultă că L_{_{4\rightarrow 1}}=\nu\cdot R\cdot T\cdot \ln\frac{V_f}{V_i} .

Pentru transformarea 2\rightarrow 3 avem: 

L_{_{2\rightarrow 3}}=\nu\cdot R\cdot T_2\cdot \ln\frac{V_3}{V_2}

V_3=e\cdot V_1

V_2=1,5\cdot V_1

\begin{align*} \Rightarrow L_{_{2\rightarrow 3}}&=\nu\cdot R\cdot T_2\cdot \ln\frac{e\cdot V_1}{1,5\cdot V_1} \\\\& =\nu\cdot R\cdot T_2\cdot \ln\frac{e}{1,5} \\\\& =\nu\cdot R\cdot T_2\cdot (\ln e-\ln 1,5) \\\\& =\nu\cdot R\cdot T_2\cdot (1-0,4) \\\\& =0,6\cdot \nu\cdot R\cdot T_2 \end{align*}

Dar, cum \begin{align*} L_{_{2\rightarrow 3}}=900\ \text{J} \end{align*}, ne rezultă:

\begin{align*} 900\ \text{J}=0,6\cdot \nu\cdot R\cdot T_2 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow 900\ \text{J}=0,6\cdot \nu\cdot 8,31\cdot 450 \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow \nu&=\frac{900}{0,6\cdot 8,31\cdot 450} \\\\&\simeq 0,4\ \text{moli} \end{align*}

\begin{align*} L_{_{4\rightarrow 1}}=\nu\cdot R\cdot T_4\cdot \ln\frac{V_1}{V_4} \end{align*}

\begin{align*} T_4=T_1=300\ \text{K} \end{align*}

\begin{align*} V_4=V_3=e\cdot V_1 \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow L_{_{4\rightarrow 1}}&=\nu\cdot R\cdot T_1\cdot \ln\frac{V_1}{e\cdot V_1} \\\\& =\nu\cdot R\cdot T_1\cdot \ln\frac{1}{e} \\\\& =-\nu\cdot R\cdot T_1 \\\\& =-0,4\cdot 8,31\cdot 300 \\\\&\simeq -1000\ \text{J} \end{align*}

\begin{align*} L_{_{1\rightarrow 2}}&=p_1\cdot (V_2-V_1) \\\\& =\nu\cdot R\cdot (T_2-T_1) \\\\& =0,4\cdot 8,31\cdot (450-300) \\\\& =0,4\cdot 8,31\cdot 150 \\\\& \simeq 500\ \text{J} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow L_{_{3\rightarrow 4}}&=500+900+0-1000\\&=400\ \text{J} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow L_{_{3\rightarrow 4}}=400\ \text{J} \end{align*}.

  1. Avem:

\begin{align*} \Delta U=Q-L\end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow Q=\Delta U+L \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow Q_{_{1\rightarrow 2}}=\Delta U_{_{1\rightarrow 2}}+L_{_{1\rightarrow 2}} \end{align*}

\begin{align*} \Delta U_{_{1\rightarrow 2}}&=\nu\cdot C_{ _{V}}\cdot \Delta T \\&=\nu\cdot 3\cdot R\cdot (T_2-T_1) \\&=0,4\cdot 3\cdot 8,31\cdot (450-300) \\&=1,2\cdot 8,31\cdot 150 \\&=1495,8 \\&\simeq 1500\ \text{J} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow Q_{_{1\rightarrow 2}}&=1500+500 \\& =2000\ \text{J} \\&=2\ \text{kJ} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow Q_{_{1\rightarrow 2}}&=2\ \text{kJ} \end{align*}.

  1. Transformarea 2\rightarrow 3 este izotermă:

\Rightarrow \Delta U_{_{2\rightarrow 3}}=0

\Rightarrow Q_{_{2\rightarrow 3}}=L_{ _{2\rightarrow 3}}=900\ \text{J}.

Astfel, gazul primeşte căldură.

Transformarea 4\rightarrow 1 este izotermă:

\Rightarrow \Delta U_{_{4\rightarrow 1}}=0

\Rightarrow Q_{_{4\rightarrow 1}}=L_{_{4\rightarrow 1}}=-1000\ \text{J}.

Astfel, gazul cedează căldură.

Transformarea 3\rightarrow 4 este izocoră:

\Rightarrow L_{_{3\rightarrow 4}}=0

\Rightarrow \Delta U_{_{3\rightarrow 4}}=Q_{_{3\rightarrow 4}}

Avem T_4=T_1 şi T_2=T_3.

Atunci:

\begin{align*} \Rightarrow Q_{_{3\rightarrow 4}}&=\nu\cdot C_{ _{V}}\cdot (T_4-T_3) \\& =\nu\cdot 3\cdot R\cdot (T_1-T_2) \\& =0,4\cdot 3\cdot 8,31\cdot (300-450) \\&=1,2\cdot 8,31\cdot (-150)\\ &=-1495,8\ \text{J} \\&\simeq -1500\ \text{J} \end{align*}

Astfel, gazul cedează căldură.

Avem Q_{_{1\rightarrow 2}}=2000\ \text{J}. Atunci, gazul primeşte căldură.

\begin{align*} \Rightarrow Q_{_{\text{primit}}}&=Q_{_{1\rightarrow 2}}+Q_{_{2\rightarrow 3}} \\& =2000+900 \\& =2900\ \text{J} \end{align*}

\begin{align*} \eta&=\frac{L_{_{\text{total}}}}{Q_{_{\text{primit}}}} \\\\& =\frac{400}{2900} \\\\&\cong 0,138 \\\\&\cong 13,8\% \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \eta&\cong13,8\% \end{align*}.