Subiectul III

Un corp de mici dimensiuni având masa m=400 \text{g}, aflat inițial în repaus în punctul de coordonată x_0=1 \text{m}, se poate deplasa doar de-a lungul axei Ox. În figura alăturată este reprezentată dependența proiecției pe axa Ox a forţei rezultante care acţionează asupra corpului de coordonata acestuia.

  1. Calculați lucrul mecanic efectuat de forţa rezultantă la deplasarea corpului din punctul de coordonată x_0=1 \text{m} în punctul de coordonată x=7 \text{m};
  2. Determinați energia cinetică a corpului la trecerea prin punctul de coordonată x_1=5 \text{m};
  3. Calculați valoarea vitezei corpului la trecerea prin punctul de coordonată x=7 \text{m}.
  4. Când viteza corpului este \text{v} = 20 \text{m} /\text{s} , acesta se cuplează cu un corp identic aflat în repaus. Considerând că în cursul acestui proces și după realizarea cuplajului rezultanta forțelor externe este nulă, determinați viteza celor două corpuri cuplate.

Rezolvare:

  1. Lucrul mecanic efectuat de o forţă este egal cu aria cuprinsă între graficul forţei şi axa OX, daca pe axa OY este reprezentată forţa, iar pe axa OX este reprezentată distanţa parcursă. Acesta este pozitiv dacă graficul se află deasupra axei OX şi este negativ dacă graficul se află sub axa OX.

\begin{align*} \Rightarrow L=L_{1\rightarrow 3}+L_{3\rightarrow 5}+L_{5\rightarrow 7} \end{align*}

\begin{align*} L_{1\rightarrow 3}&=40\cdot (3-1) \\& =40\cdot 2 \\&=80\ J \end{align*}

\begin{align*} L_{3\rightarrow 5}&=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot (5-3) \\\\& =20\cdot 2 \\\\& =40\ J \end{align*}

\begin{align*} L_{5\rightarrow 7}&=\frac{1}{2}\cdot (-40)\cdot(7-5) \\\\& =-20\cdot 2 \\\\& =-40\ J \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow L=80+40-40=80\ J \end{align*}.

  1. Corpul porneşte din repaus, aşadar energia lui cinetică iniţială este \begin{align*} 0 \end{align*}.

Conform legii conservării energiei, avem:

\begin{align*} \Delta E_c=L \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow E_f-E_i=L \end{align*}

\begin{align*} E_i=0 \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow E_f=L \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow E_{x=5}&=L_{1\rightarrow 3}+L_{3\rightarrow 5} \\& =80+40 \\& =120\ J \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow E_{x=5}&=120\ J \end{align*}.

  1. Avem:

\begin{align*} m=400\ g=0,4\ Kg \end{align*}

\begin{align*} E_f-E_i=L \end{align*}

\begin{align*} E_i=0 \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow E_f=L \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow E_{x=7}=L \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow E_{x=7}&=L_{1\rightarrow 3}+L_{3\rightarrow 5}+L_{5\rightarrow 7} \\& =80+40-40 \\&=80\ J \end{align*}

\begin{align*} E_c=m\cdot \frac{v^2}{2} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow v^2=\frac{2\cdot E_c}{m} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow v&=\sqrt{\frac{2\cdot E_c}{m}} \\\\&=\sqrt{\frac{2\cdot 80}{0,4}} \\\\& =\sqrt{2\cdot 200} \\\\& =\sqrt{400} \\\\& =20\ \frac{m}{s} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow v&=20\ \frac{m}{s} \end{align*}.

  1. Deoarece rezultanta forţelor exterioare este nulă, impulsul se conservă.

Cele două corpuri se cuplează, deci vitezele lor vor fi egale.

\begin{align*} \Rightarrow p_i=p_f \end{align*}

\begin{align*} p_i=m\cdot v_i \end{align*}

\begin{align*} p_f=(m+m)\cdot v_f \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow m\cdot v_i=(m+m)\cdot v_f \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow v_f&=\frac{m\cdot v_i}{2\cdot m} \\\\&=\frac{1}{2}\cdot v_i \\\\&=0,5\cdot 20 \\\\&=10 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow v_f&=10\ \frac{m}{s} \end{align*}.