Subiectul II

În sistemul de corpuri reprezentat schematic în figura alăturată, masele corpurilor sunt m_1=m_2=1 \text{kg}, respectiv m_3=3 \text{kg}. Unghiul format de planul înclinat cu orizontala este \alpha \cong 37^\circ ( \sin\alpha =0,6 ). Sistemul este lăsat liber din repaus, iar corpurile de mase m_1 și m_2 se deplasează cu frecare, coeficientul de frecare la alunecare dintre acestea şi planul înclinat fiind \mu=0,5. Firul este inextensibil și de masă neglijabilă, iar scripetele este lipsit de frecare și de inerție.

  1. Reprezentaţi forţele care acţionează asupra corpului de masă m_2 în timpul mişcării.
  2. Calculaţi valoarea forţei cu care corpul de masă m_1 împinge corpul de masă m_2.
  3. Determinaţi valoarea forţei de apăsare pe scripete.
  4. Se dezleagă corpul de masă m_3 şi se trage de fir, vertical în jos, cu o forţă F. Determinaţi valorile forţei F pentru care sistemul de corpuri m_1, m_2 se deplasează cu viteză constantă pe planul înclinat.

Rezolvare:

  1. Forţele care acţionează asupra corpului de masă m_2 în timpul mișcării sunt reprezentate în figura următoare:

  1. Deoarece corpurile sunt legate între ele, acceleraţiile acestora sunt egale.

\Rightarrow a_1=a_2=a_3=a

Din principiul acţiunii şi reacţiunii ştim că forţa cu care corpul 1 împinge corpul 2 este egală (dar are sens opus) cu forţa cu care corpul 2 acţionează asupra corpului 1.

\Rightarrow \begin{cases} G_3-T=m_3\cdot a\\ T-G_{t_1}-F_{f_1}-F_1=m_1\cdot a\\ F_1-G_{t_2}-F_{f_2}=m_2\cdot a \end{cases}

Adunăm cele trei relații de mai sus şi obţinem:

G_3-T+ T-G_{t_1}-F_{f_1}-F_1+ F_1-G_{t_2}-F_{f_2}= m_3\cdot a+ m_1\cdot a+ m_2\cdot a

\Leftrightarrow G_3-G_{t_1}-F_{f_1}-G_{t_2}-F_{f_2}= (m_3+ m_1+ m_2)\cdot a

\Rightarrow a=\frac{ G_3-G_{t_1}-F_{f_1}-G_{t_2}-F_{f_2}}{ m_3+ m_1+ m_2}

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

\begin{align*} \Rightarrow \cos\alpha&=\sqrt{1-\sin^2\alpha} \\ \\& =\sqrt{1-0,6^2} \\ \\& =\sqrt{1-0,36} \\ \\& =\sqrt{0,64} \\ \\& =0,8 \end{align*}

\begin{align*} G_3&=m_3\cdot g \\& =3\cdot 10 \\& =30\ N \end{align*}

\begin{align*} G_{t_1}&=G_1\cdot \sin\alpha \\&=m_1\cdot g\cdot \sin\alpha \\&=1\cdot 10\cdot0,6 \\&=6\ N \end{align*}

\begin{align*} G_{t_2}&=G_2\cdot \sin\alpha \\&=m_2\cdot g\cdot \sin\alpha \\&=1\cdot 10\cdot 0,6 \\&=6\ N \end{align*}

\begin{align*} F_{f_1}&=\mu\cdot N_1 \\& =\mu\cdot G_{n_1} \\& =\mu\cdot G_1\cdot \cos\alpha \\& =\mu\cdot m_1\cdot g\cdot\cos\alpha \\& =0,5\cdot 1\cdot 10\cdot 0,8 \\& =4\ N \end{align*}

\begin{align*} F_{f_2}&=\mu\cdot N_2 \\& =\mu\cdot G_{n_2} \\& =\mu\cdot G_2\cdot \cos\alpha \\& =\mu\cdot m_2\cdot g\cdot\cos\alpha \\& =0,5\cdot 1\cdot 10\cdot 0,8 \\& =4\ N \end{align*}

\begin{align*} a&=\frac{30-6-4-6-4}{3+1+1} \\\\& =\frac{10}{5} \\\\& =2\ \frac{m}{s^2} \end{align*}

\begin{align*} F_1-G_{t_2}-F_{f_2}=m_2\cdot a \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow F_1&= G_{t_2}+F_{f_2}+m_2\cdot a \\&=6+4+ 1\cdot 2 \\&=10+2 \\& =12\ N \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow F_1& =12\ N \end{align*}.

  1. Din desen se observă că tensiunea din fir acţionează şi în stânga şi în dreapta scripetelui.

Adunăm vectorial cele două forţe cu teorema lui Pitagora generalizată şi obţinem forţa rezultantă:

\begin{align*} F_{scr}=\sqrt{T^2+T^2+2\cdot T\cdot T\cdot \cos\beta} \end{align*}

Din desen se observă că:

\begin{align*} \alpha+\beta=90^{\circ} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow \beta=90^{\circ}-\alpha \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow \cos\beta&=\cos (90^{\circ}-\alpha) \\& =\cos90^{\circ}\cos\alpha+\sin90^{\circ}\sin\alpha \\&=0\cdot cos\alpha+1\cdot\sin\alpha \\&=\sin\alpha \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow F_{scr}=\sqrt{T^2+T^2+2\cdot T\cdot T\cdot \sin\alpha} \end{align*}

\begin{align*} G_3-T=m_3\cdot a \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow T&=G_{3}-m_3\cdot a \\&=30-3\cdot 2 \\&=30-6 \\&=24\ N \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow F_{scr}&=\sqrt{24^2+24^2+2\cdot24\cdot 24\cdot0,6} \\& =\sqrt{1843,2} \\& \cong 42,9 \\& \cong 43\ N \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow F_{scr}& \cong 43\ N \end{align*}.

  1. Corpurile \begin{align*} 1 \end{align*} şi \begin{align*} 2 \end{align*} pot urca sau pot coborî cu viteză constantă.

Aşadar, în primul caz forţele defrecare sunt orientate spre baza planului, iar în al doilea caz sunt îndreptate spre vârful planului (spre scripete).

Avem, deci, două cazuri distincte:

  1. corpurile urcă:

\begin{align*} F_{urc}-G_{t_1}-G_{t_2}-F_{f_1}-F{f_2}=(m_1+m_2)\cdot a \end{align*}

\begin{align*} v=ct \Rightarrow a=0 \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow F_{urc}&=G_{t_1}+G_{t_2}+F_{f_1}+F{f_2}+(m_1+m_2)\cdot a \\& =6+6+4+4+(1+1)\cdot 0 \\& =20\ N \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow F_{urc}&=20\ N \end{align*}.

  1. corpurile coboară:

\begin{align*} G_{t_1}+G_{t_2}-F_{f_1}-F{f_2}-F_{cob}=(m_1+m_2)\cdot a \end{align*}

\begin{align*} v=ct \Rightarrow a=0 \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow F_{urc}&=G_{t_1}+G_{t_2}-F_{f_1}-F{f_2}-(m_1+m_2)\cdot a \\& =6+6-4-4-(1+1)\cdot 0 \\& =4\ N \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow F_{urc}& =4\ N \end{align*}.