Sesiunea iunie Tehnologic

Cuprins

Subiectul I
Subiectul al II-lea
Subiectul al III-lea

Subiectul I

Arătați că $2\cdot \left( 2-\dfrac{3}{4}:\dfrac{1}{2} \right)=1$ .

Rezolvare:

$\begin{align*} 2\cdot \left( 2-\dfrac{3}{4}:\dfrac{1}{2} \right)&=2\cdot \left( 2-\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{2}{1} \right)&\\ &=2\cdot \left(2-\dfrac{3}{2}\right)&\\ &=2\cdot 2-2\cdot \dfrac{3}{2}&\\ &=4-3&\\ &=1.& \end{align*}$

2. Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , f(x)=x+2 și $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , g(x)=x-4 . Arătați că f(1)+g(1)=0 .

Rezolvare:

$\begin{align*} f(1)+g(1)&=1+2+1-4&\\ &=4-4&\\ &=0.& \end{align*}$

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{4-x}=4$ .

Rezolvare:

$\begin{align*} & 2^{4-x}=4 &\\ \Leftrightarrow\ & 2^{4-x}=2^2 &\\ \Leftrightarrow\ & 4-x=2 &\\ \Leftrightarrow\ & x=4-2 &\\ \Leftrightarrow\ &x=2.& \end{align*}$

4. Un produs costă de lei. Determinați prețul produsului după o scumpire cu $30\%$ .

Rezolvare:

După o scumpire cu $30\%$ , prețul produsului este:

$\begin{align*} 70+\dfrac{30}{100}\cdot 70&=70+\dfrac{2100}{100}&\\ &=70+21&\\ &=91\ \text{de lei}.& \end{align*}$ BC=4

5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(-3,4) , B(-3,0) și C(0,4) . Calculați perimetrul triunghiului ABC .

Rezolvare:

Calculăm lungimile laturilor , și .

$\begin{align*} AB&=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}&\\ &=\sqrt{(-3-(-3))^2+(0-4)^2}&\\ &=\sqrt{0^2+(-4)^2}&\\ &=\sqrt{0+16}&\\ &=\sqrt{16}&\\ &=4& \end{align*}$

$\begin{align*} BC&=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}&\\ &=\sqrt{(0-(-3))^2+(4-0)^2}&\\ &=\sqrt{3^2+4^2}&\\ &=\sqrt{9+16}&\\ &=\sqrt{25}&\\ &=5& \end{align*}$

$\begin{align*} AC&=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}&\\ &=\sqrt{(0-(-3))^2+(4-4)^2}&\\ &=\sqrt{3^2+0^2}&\\ &=\sqrt{9+0}&\\ &=\sqrt{9}&\\ &=3& \end{align*}$

Perimetrul triunghiului ABC este:

$\begin{align*} P_{\triangle ABC}&=AB+BC+AC&\\ &=4+5+3&\\ &=12.& \end{align*}$

6. Se consideră triunghiul ABC , în care AC=2 , BC=4 și unghiul are măsura egală cu $30^\circ$ . Arătați că $\sin B=\dfrac{1}{4}$ .

Rezolvare:

Cum $m(\sphericalangle A)=30^\circ$ , avem că $\sin A=\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}$ .

Aplicăm teorema sinusurilor.

$\begin{align*} & \dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AC}{\sin B} &\\ \Leftrightarrow\ & \dfrac{4}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{\sin B} &\\ \Leftrightarrow\ & \sin B=\dfrac{2\cdot \dfrac{1}{2}}{4} &\\ \Leftrightarrow\ & \sin B=\dfrac{1}{4}. & \end{align*}$

Subiectul al II-lea

Se consideră matricele $A=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ și $I_2=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$ .

a) Arătați că $\det A=7$ .

b) Arătați că 2B+I_2=3A .

c) Determinați matricea $X\in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $A\cdot X-B\cdot X=I_2-X$ .

Rezolvare:

a) Calculăm $\det A$ .

$\begin{align*} \det A&=\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}&\\ &=3\cdot 1-2\cdot (-2)&\\ &=3+4&\\ &=7.& \end{align*}$

b) Calculăm 2B+I_2 .

$\begin{align*} 2B+I_2&=2\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}&\\ &=\begin{pmatrix} 2\cdot 4 & 2\cdot (-3) \\ 2\cdot 3 & 2\cdot 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}&\\ &=\begin{pmatrix} 8 & -6 \\ 6 & 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}&\\ &=\begin{pmatrix} 8+1 & -6+0 \\ 6+0 & 2+1 \end{pmatrix}&\\ &=\begin{pmatrix} 9 & -6 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}&\\ &=\begin{pmatrix} 3 \cdot 3 & 3\cdot (-2) \\ 3\cdot 2 & 3\cdot 1 \end{pmatrix}&\\ &=3\cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}&\\ &=3A \end{align*}$

$\Rightarrow 2B+I_2=3A$ .

c) Avem:

$\begin{align*} & A\cdot X-B\cdot X=I_2-X &\\ \Leftrightarrow\ & A\cdot X-B\cdot X+I_2\cdot X=I_2 &\\ \Leftrightarrow\ & (A-B+I_2)\cdot X=I_2. & \end{align*}$

Calculăm A-B+I_2 .

$\begin{align*} A-B+I_2&=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}&\\ &=\begin{pmatrix} 3-4+1 & -2-(-3)+0 \\ 2-3+0 & 1-1+1 \end{pmatrix}&\\ &=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{align*}$

Calculăm $\det(A-B+I_2)$ .

$\begin{align*} \det(A-B+I_2)&=\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}&\\ &=0\cdot 1-(-1)\cdot 1&\\ &=0-(-1)&\\ &=0+1&\\ &=1& \end{align*}$

Cum $\det(A-B+I_2)=1\ne 0$ , rezultă că matricea A-B+I_2 este inversabilă și, cum $(A-B+I_2)\cdot X=I_2$ , obținem că $B=(A-B+I_2)^{-1}=\dfrac{1}{\det(A-B+I_2)}\cdot (A-B+I_2)^*$ .

$(A-B+I_2)^T=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

$(A-B+I_2)^*=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ ,...