Sesiunea iunie Tehnologic

Subiectul I

  1. Arătați că 2\cdot \left( 2-\dfrac{3}{4}:\dfrac{1}{2} \right)=1.

Rezolvare:

\begin{align*} 2\cdot \left( 2-\dfrac{3}{4}:\dfrac{1}{2} \right)&=2\cdot \left( 2-\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{2}{1} \right)&\\ &=2\cdot \left(2-\dfrac{3}{2}\right)&\\ &=2\cdot 2-2\cdot \dfrac{3}{2}&\\ &=4-3&\\ &=1.& \end{align*}

2. Se consideră funcțiile f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+2 și g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x-4. Arătați că f(1)+g(1)=0.

Rezolvare:

\begin{align*} f(1)+g(1)&=1+2+1-4&\\ &=4-4&\\ &=0.& \end{align*}

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2^{4-x}=4.

Rezolvare:

\begin{align*} & 2^{4-x}=4 &\\ \Leftrightarrow\ & 2^{4-x}=2^2 &\\ \Leftrightarrow\ & 4-x=2 &\\ \Leftrightarrow\ & x=4-2 &\\ \Leftrightarrow\ &x=2.& \end{align*}

4. Un produs costă 70 de lei. Determinați prețul produsului după o scumpire cu 30\%.

Rezolvare:

După o scumpire cu 30\%, prețul produsului este:

\begin{align*} 70+\dfrac{30}{100}\cdot 70&=70+\dfrac{2100}{100}&\\ &=70+21&\\ &=91\ \text{de lei}.& \end{align*}BC=4

5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(-3,4), B(-3,0) și C(0,4). Calculați perimetrul triunghiului ABC.

Rezolvare:

Calculăm lungimile laturilor AB, BC și AC.

\begin{align*} AB&=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}&\\ &=\sqrt{(-3-(-3))^2+(0-4)^2}&\\ &=\sqrt{0^2+(-4)^2}&\\ &=\sqrt{0+16}&\\ &=\sqrt{16}&\\ &=4& \end{align*}

\begin{align*} BC&=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}&\\ &=\sqrt{(0-(-3))^2+(4-0)^2}&\\ &=\sqrt{3^2+4^2}&\\ &=\sqrt{9+16}&\\ &=\sqrt{25}&\\ &=5& \end{align*}

\begin{align*} AC&=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}&\\ &=\sqrt{(0-(-3))^2+(4-4)^2}&\\ &=\sqrt{3^2+0^2}&\\ &=\sqrt{9+0}&\\ &=\sqrt{9}&\\ &=3& \end{align*}

Perimetrul triunghiului ABC este:

\begin{align*} P_{\triangle ABC}&=AB+BC+AC&\\ &=4+5+3&\\ &=12.& \end{align*}

6. Se consideră triunghiul ABC, în care AC=2, BC=4 și unghiul A are măsura egală cu 30^\circ. Arătați că \sin B=\dfrac{1}{4}.

Rezolvare:

Cum m(\sphericalangle A)=30^\circ, avem că \sin A=\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}.

Aplicăm teorema sinusurilor.

\begin{align*} & \dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AC}{\sin B} &\\ \Leftrightarrow\ & \dfrac{4}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{\sin B} &\\ \Leftrightarrow\ & \sin B=\dfrac{2\cdot \dfrac{1}{2}}{4} &\\ \Leftrightarrow\ & \sin B=\dfrac{1}{4}. & \end{align*}

Subiectul al II-lea

  1. Se consideră matricele A=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} și I_2=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}.

a) Arătați că \det A=7.

b) Arătați că 2B+I_2=3A

c) Determinați matricea X\in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care A\cdot X-B\cdot X=I_2-X.

Rezolvare:

a) Calculă...

Textul de mai sus este doar un extras. Numai membrii pot citi întregul conținut.

Obține acces la întregul eBook.

Ca membru al Liceunet.ro, beneficiezi de acces la întregul conținut.

Achiziționează un abonament acum

Deja membru? Log in