Sesiunea iunie Științe ale naturii

Cuprins

Subiectul I
Subiectul al II-lea
Subiectul al III-lea

Ghidul Bacalaureatului la Matematică | Profilul Științele naturii

Subiectul I

Determinați al treilea termen al progresiei geometrice $(b_n)_{n\geq 1}$ , știind că și .

Rezolvare:

Metoda I: Determinăm rația a progresiei geometrice și calculăm b_3 folosind formula $b_3=b_2\cdot q$ .

q=b_2:b_1=6:2=3

$\begin{align*} b_3&=b_2\cdot q&\\ &=6\cdot 3&\\ &=18& \end{align*}$

Metoda II: Calculăm b_3 folosind formula $b_3=b_1\cdot q^2$ .

Am văzut la Metoda I că rația progresiei geometrice este q=3 .

$\begin{align*} b_3&=b_1\cdot q^2&\\ &=2\cdot 3^2&\\ &=2\cdot 9&\\ &=18& \end{align*}$

Metoda III: Folosim proprietatea a trei termeni consecutivi ai unei progresiei geometrice: $b_2=\sqrt{b_1\cdot b_3}|^2$ .

$\begin{align*} b_2^2&=b_1\cdot b_3&\\ \Rightarrow b_3&=\dfrac{b_2^2}{b_1}&\\ &=\dfrac{6^2}{2}&\\ &=\dfrac{36}{2}&\\ &=18.& \end{align*}$

2. Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , f(x)=x+7 și $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ . Calculați $(f\circ g)(7)$ .

Rezolvare:

$\begin{align*} (f\circ g)(7)&=f(g(7))&\\ &=f(7-7)&\\ &=f(0)&\\ &=0+7&\\ &=7.& \end{align*}$

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x-1}=x-2$ .

Rezolvare:

Condiții de existență:

$\begin{align*} & 2x-1\geq 0 &\\ \Leftrightarrow\ & 2x\geq 0+1 &\\ \Leftrightarrow\ & 2x\geq 1 &\\ \Leftrightarrow\ & x\geq \dfrac{1}{2} & \end{align*}$

$\begin{align*} & x-2\geq 0 &\\ \Leftrightarrow\ & x\geq 0+2 &\\ \Leftrightarrow\ & x\geq 2 & \end{align*}$

$\Rightarrow x\geq 2\Leftrightarrow x\in [2,+\infty)$

$\begin{align*} & \sqrt{2x-1}=x-2\ |^2 &\\ \Leftrightarrow\ & 2x-1=(x-2)^2 &\\ \Leftrightarrow\ & 2x-1=x^2-4x+4 &\\ \Leftrightarrow\ & x^2-4x+4-2x+1=0 &\\ \Leftrightarrow\ & x^2-6x+5=0 & \end{align*}$

$\begin{align*} \Delta&=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 5&\\ &=36-20&\\ &=16& \end{align*}$

$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-(-6)-\sqrt{16}}{2\cdot 1}&\\ &=\dfrac{6-4}{2}&\\ &=\dfrac{2}{2}&\\ &=1\notin [2,+\infty)& \end{align*}$

$\begin{align*} x_2&=\dfrac{-(-6)+\sqrt{16}}{2\cdot 1}&\\ &=\dfrac{6+4}{2}&\\ &=\dfrac{10}{2}&\\ &=5\in [2,+\infty).& \end{align*}$

4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea 0">.

Rezolvare:

$\begin{align*} &p=\dfrac{\text{num\u arul cazurilor favorabile}}{\text{num\u arul cazurilor posibile}}& \end{align*}$

Mulțimea numerelor naturale de o cifră este $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ . Deci avem cazuri posibile.

Pentru $n\in \{0,1,2,3,4\}$ ,...