Sesiunea iunie Științe ale naturii

Subiectul I

  1. Determinați al treilea termen al progresiei geometrice (b_n)_{n\geq 1}, știind că b_1=2 și b_2=6.

Rezolvare:

Metoda I: Determinăm rația q a progresiei geometrice și calculăm b_3 folosind formula b_3=b_2\cdot q.

q=b_2:b_1=6:2=3

\begin{align*} b_3&=b_2\cdot q&\\ &=6\cdot 3&\\ &=18& \end{align*}

Metoda II: Calculăm b_3 folosind formula b_3=b_1\cdot q^2.

Am văzut la Metoda I că rația progresiei geometrice este q=3.

\begin{align*} b_3&=b_1\cdot q^2&\\ &=2\cdot 3^2&\\ &=2\cdot 9&\\ &=18& \end{align*}

Metoda III: Folosim proprietatea a trei termeni consecutivi ai unei progresiei geometrice: b_2=\sqrt{b_1\cdot b_3}|^2.

\begin{align*} b_2^2&=b_1\cdot b_3&\\ \Rightarrow b_3&=\dfrac{b_2^2}{b_1}&\\ &=\dfrac{6^2}{2}&\\ &=\dfrac{36}{2}&\\ &=18.& \end{align*}

2. Se consideră funcțiile f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+7 și g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}. Calculați (f\circ g)(7).

Rezolvare:

\begin{align*} (f\circ g)(7)&=f(g(7))&\\ &=f(7-7)&\\ &=f(0)&\\ &=0+7&\\ &=7.& \end{align*}

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \sqrt{2x-1}=x-2.

Rezolvare:

Condiții de existență:

\begin{align*} & 2x-1\geq 0 &\\ \Leftrightarrow\ & 2x\geq 0+1 &\\ \Leftrightarrow\ & 2x\geq 1 &\\ \Leftrightarrow\ & x\geq \dfrac{1}{2} & \end{align*}

\begin{align*} & x-2\geq 0 &\\ \Leftrightarrow\ & x\geq 0+2 &\\ \Leftrightarrow\ & x\geq 2 & \end{align*}

\Rightarrow x\geq 2\Leftrightarrow x\in [2,+\infty)

\begin{align*} & \sqrt{2x-1}=x-2\ |^2 &\\ \Leftrightarrow\ & 2x-1=(x-2)^2 &\\ \Leftrightarrow\ & 2x-1=x^2-4x+4 &\\ \Leftrightarrow\ & x^2-4x+4-2x+1=0 &\\ \Leftrightarrow\ & x^2-6x+5=0 & \end{align*}

\begin{align*} \Delta&=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 5&\\ &=36-20&\\ &=16& \end{align*}

\begin{align*} x_1&=\dfrac{-(-6)-\sqrt{16}}{2\cdot 1}&\\ &=\dfrac{6-4}{2}&\\ &=\dfrac{2}{2}&\\ &=1\notin [2,+\infty)& \end{align*}

\begin{align*} x_2&=\dfrac{-(-6)+\sqrt{16}}{2\cdot 1}&\\ &=\dfrac{6+4}{2}&\\ &=\dfrac{10}{2}&\\ &=5\in [2,+\infty).& \end{align*}

4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea 0">. 

Rezolvare:

\begin{align*} &p=\dfrac{\text{num\u arul cazurilor favorabile}}{\text{num\u arul cazurilor posibile}}& \end{align*}

Mulțimea numerelor naturale de o cifră este \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}. Deci avem 10 cazuri posibile.

Pentru n\in \{0,1,2,3,4\}, unul dintre termenii n, n-1, n-2, n-3, n-4 a membrului st...

Textul de mai sus este doar un extras. Numai membrii pot citi întregul conținut.

Obține acces la întregul eBook.

Ca membru al Liceunet.ro, beneficiezi de acces la întregul conținut.

Achiziționează un abonament acum

Deja membru? Log in