Sesiunea iunie Mate-Info

Cuprins

Subiectul I
Subiectul al II-lea
Subiectul al III-lea

Pentru mai multe informații despre profilul mate-info consultă acest ghid Ghidul Bacalaureatului la Matematică.

Subiectul I

Arătați că , unde .

Rezolvare:

$\begin{align*} (1+i)^2-2(1+i)+2&=1^2+2\cdot 1\cdot i+i^2-2\cdot 1-2\cdot i+2&\\ &=1+2i-1-2-2i+2&\\ &=(1-1)+(2i-2i)+(-2+2)&\\ &=0+0+0&\\ &=0.& \end{align*}$

$\Rightarrow (1+i)^2-2(1+i)+2=0.$

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , f(x)=x^2+ax-5 , unde este număr real. Determinați numărul real , știind că punctul M(1,2) aparține graficului funcției .

Rezolvare:

$\begin{align*} M(1,2)\in D_f&\Rightarrow f(1)=2&\\ &\Leftrightarrow 1^2+a\cdot 1-5=2&\\ &\Leftrightarrow 1+a-5=2&\\ &\Leftrightarrow a-4=2&\\ &\Leftrightarrow a=2+4&\\ &\Leftrightarrow a=6.& \end{align*}$

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_4 (x^2+1)=\log_4 x+\log_4 (x+1)$ .

Rezolvare:

Condiții de existență:

0,\forall x\in \mathbb{R}">

0\Leftrightarrow x>0-1\Leftrightarrow x>-1\Leftrightarrow x\in (-1,+\infty)">

0\Leftrightarrow x\in (0,+\infty)">

$\Rightarrow x\in (-1,+\infty)\cap (0,+\infty)$

$\Leftrightarrow x\in (0,+\infty)$

$\begin{align*} & \log_4(x^2+1)=\log_4 x+\log_4 (x+1)&\\ \Leftrightarrow & \log_4(x^2+1)=\log_4 x(x+1)&\\ \Leftrightarrow & x^2+1=x(x+1) &\\ \Leftrightarrow & x^2+1=x^2+x\ |-x^2 &\\ \Leftrightarrow & x=1\in (0,+\infty).& \end{align*}$