Sesiunea iunie Mate-Info

Subiectul I

  1. Arătați că (1+i)^2-2(1+i)+2=0, unde i^2=-1.

Rezolvare:

\begin{align*} (1+i)^2-2(1+i)+2&=1^2+2\cdot 1\cdot i+i^2-2\cdot 1-2\cdot i+2&\\ &=1+2i-1-2-2i+2&\\ &=(1-1)+(2i-2i)+(-2+2)&\\ &=0+0+0&\\ &=0.& \end{align*}

\Rightarrow (1+i)^2-2(1+i)+2=0.

2. Se consideră funcția f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x^2+ax-5, unde a este număr real. Determinați numărul real a, știind că punctul M(1,2) aparține graficului funcției f

Rezolvare:

\begin{align*} M(1,2)\in D_f&\Rightarrow f(1)=2&\\ &\Leftrightarrow 1^2+a\cdot 1-5=2&\\ &\Leftrightarrow 1+a-5=2&\\ &\Leftrightarrow a-4=2&\\ &\Leftrightarrow a=2+4&\\ &\Leftrightarrow a=6.& \end{align*}

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \log_4 (x^2+1)=\log_4 x+\log_4 (x+1).

Rezolvare:

Condiții de existență:

0,\forall x\in \mathbb{R}">

0\Leftrightarrow x>0-1\Leftrightarrow x>-1\Leftrightarrow x\in (-1,+\infty)">

0\Leftrightarrow x\in (0,+\infty)">

\Rightarrow x\in (-1,+\infty)\cap (0,+\infty)

\Leftrightarrow x\in (0,+\infty)

\begin{align*} & \log_4(x^2+1)=\log_4 x+\log_4 (x+1)&\\ \Leftrightarrow & \log_4(x^2+1)=\log_4 x(x+1)&\\ \Leftrightarrow & x^2+1=x(x+1) &\\ \Leftrightarrow & x^2+1=x^2+x\ |-x^2 &\\ \Leftrightarrow & x=1\in (0,+\infty).& \end{align*}

4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 2 și cu 5.

Rezolvare:

p=\dfrac{\text{num\u ar cazuri favorabile}}{\text{num\u ar cazuri posibile}}

Sunt 90 de numere naturale de două cifre. Deci avem 90 de cazuri posibile.

Numerele naturale de două cifre divizibile cu 2 sunt cele care au cifra unităților 0,2,4,6 sau 8.

Numerele naturale de două cifre divizibile cu 5 sunt cele care au cifra unităților 0 sau 5....

Textul de mai sus este doar un extras. Numai membrii pot citi întregul conținut.

Obține acces la întregul eBook.

Ca membru al Liceunet.ro, beneficiezi de acces la întregul conținut.

Achiziționează un abonament acum

Deja membru? Log in